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數學史 / 阿基米德

阿基米德( Archimedes﹞
約公元前287─前212,古希臘

  阿基米德是整個歷史上最偉大的數學家之一,後人對阿基米德給以極高的評價,常把他和牛頓、高斯並列為有史以來三個貢獻最大的數學家。

  他大約在公元前287年出身於西西里島上的希臘城市敘拉古,早年曾在當時希臘的學術中心亞歷山大跟隨歐幾里得的門徒學習,并在那裡結識許多同行好友,如科農﹝Conon of Samos﹞、多西修斯﹝Dositheus﹞、埃拉托塞尼等等。回到敘拉古以後仍然和他們保持密切的聯繫,因此阿基米德也算是亞歷山大里亞學派的成員,他的許多學術成果就是通過和亞歷山大的學者通信往來保存下來的。公元前212年羅馬軍隊攻入敘拉古,並闖入阿基米德的住宅,看見一位老人在地上埋頭作幾何圖形,士兵將圖踩壞。阿基米德怒斥士兵:『不要弄壞我的圖!』士兵拔出短劍,刺死了這位曠世絕倫的大科學家,阿基米德竟死在愚蠢無知的羅馬士兵手裡。

 

  他的生平沒有詳細記載,但關於他的許多故事卻廣為流傳。據說他確立了力學的杠杆定理之後,曾發出豪言壯語:『給我一個立足點,我就可以移動這個地球!』,被譽為『力學之父』。另一個著名的故事是:敘拉古的亥厄洛王叫金匠造一頂純金的皇冠,因懷疑裡面摻有銀子,便請阿基米德鑒定一下。當他進入浴盆洗澡時,水漫溢到盆外,於是悟得不同質料的物體,雖然重量相同,但因體積不同,排去的水也必不相等。根據這一道理,就可以判斷皇冠是否摻假。阿基米德高興得跳起來,赤身奔回家中,口中大呼:『尤里卡!尤里卡』』﹝希臘語 ,意思是『我找到了』﹞他將這一流體靜力學的基本原理,即物體在液體中的減輕的重量,等於排去液體的重量,總結在他的名著《論浮體》﹝On Floating Bodies﹞中,後來以『阿基米德原理』著稱於世。《論浮體》更是古代第一部流體靜力學著作,是第一次將數學用於流體靜力學,阿基米德亦因此被尊為流體靜力學的創始人。 

  阿基米德的著作是數學闡述的典範,寫得完整、簡練,顯示出巨大的創造性、計算技能和證明的嚴謹性。他對數學的最大貢獻,也許是某些積分學方法的早期萌芽。現存的阿基米德著作中,有三本是講平面幾何的,它們是:《圓的量度》﹝Measurement of a circle﹞計算圓內接與外切96邊形的周長,求得圓周率π:3 10/71<π<3 1/7、《拋物線的求積》﹝Quadrature of the Parabola﹞,確定拋物線與任一弦所圍弓形的面積。和《論螺線》﹝On Spirals﹞利用一組內接和一組外接的扇形,確定『阿基米德螺線』﹝利用極坐標方程r = aθ來表示﹞第一圈與始線所包圍的面積等於[π(2πa)]2/3。現存的阿基米德著作中,有兩部是講立體幾何的,即《論球和圓柱》﹝On the Sphere and Cylinder﹞及《論劈錐曲面體和球體》﹝On Conoids and Spheroids﹞前者包括了許多重大的成就。他從幾個定義和公理出發,推出并於球與圓柱面積體積等五十多個命題。用幾何方法解決相當於三次方程 x2(a-x)=b2c 的問題。後者研究幾種圓錐曲線的旋轉體,以及這些立體被平面截取部份的體積。在引理中給出公式12+22+32+...+n2=[1/6]n(n+1)(2n+1)。《數沙術》﹝The Sand Reckoner﹞是現存論術算術的隨筆,設計一種可以表示任何大數目的方法,糾正有的人認為沙子是不可數的,即使可數也無法用算術符號表示的錯誤看法。尚存關於應用數學的有《論平板的平衡》﹝On plane equilibrium﹞和《論浮體》。他還設計了一個『群牛問題』,導致二次不定方程x2-4729494y2=1。此外,他還發現13種半正多面體,用邊表示三角形面積的『海倫公式』和七邊形的作圖法。現已公認海倫公式是阿基米德發現的,但這個名稱已成為習慣用法。 

  在數學史方面,現代最驚人的發現之一是丹麥語言學家海伯格﹝Heiberg﹞於1906年在土耳其君士坦丁堡發現的阿基米德的長期失傳的著作,後以《阿基米德方法》﹝Method﹞為名刊行於世。 
《阿基米德方法》的中心思想是:要計算一個未知量,先將它分成許許多多的微小量,再用另一組微小量來和它比較,﹝通常是建立一個杠杆,找一個合適的支點,使前後兩組微小量取得平衡。﹞而後者的總體該是較易計算的。於是通過比較,即可求出未知量來。這實質上就是積分法的基本思想。阿基米德的睿智,業已伸展到17世紀中葉的無窮小分析領域裡去了。阿基米德運用這種富有啟發性的方法,獲得大量的輝煌成果,為後人開闢了一個廣闊的領域。 

  歷史上有的數學家勇於開闢新的園地,而缺乏慎密的推理;有的數學家偏重於邏輯證明,而對新領域的開拓卻徘徊不前。阿基米德則兼有二者之長,他常常通過實踐直觀地洞察到事物的本質,然後運用邏輯方法使經驗上升為理論﹝如浮力問題﹞,再用理論去指導實際工作﹝如發明機械﹞。沒有一位古代的科學家,像阿基米德那樣將熟練的計算技巧和嚴格証明融為一體,將抽象的理論和工程技術的具體應用緊密結合起來。 

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